|
DGS Matematik Dersi Konu Özetleri-MEDİNEWEB Kümeler Küme: Elemanları kesin olarak belli olan nesneler veya semboller topluluğuna denir. a) Kümeyi oluşturan nesnelere kümenin elemanları denir. Genellikle küme büyük harfler ile,elemanları küçük harflerle gösterilir. b) Kümeyi A, elemanı x ile gösterirsek, x, A kümesinin elemanı ise x e A, x, A kümesinin elemanı değilse x e A, şeklinde gösterilir. c) Kümenin eleman sayısı s(A) şeklinde gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİMİ 1. Liste yöntemi ile, A = {Pazar, Pazartesi, Perşembe} 2. Ortak özellik yöntemi ile; A = {x | x : p harfi ile başlayan günlerimiz} 3. Venn şeması ile: DENK KÜMELER: Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. "=" şeklinde gösterilir. Örnek: A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d} s(A) = 4 j s(A) = s(B) A = B dir. s(B) = 4 J EŞİT KÜMELER: Tüm elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir. Örnek: A = {x | x : Haftanın günleri} B = {pazar, pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma, cumartesi} Tüm elemanlar aynı olduğundan, A = B dir. ALT KÜME: A kümesinin tüm elemanları, B kümesinin içinde ise A, B'nin bir alt kümesidir." denir. A c B şeklinde gösterilir. NOT 1) A a B şeklinde yazılırsa A, B nin alt kümesi değildir. 2) B D A şeklinde yazılırsa B, A yı kapsar şeklinde okunur. C c B (C, A ve B nin alt kümesidir.) CcA Örnek: A ={1,2, 3} kümesinin tüm alt kümelerini yazalım. 0, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2, 3}, {1,3}, {1,2, 3} *^0T 1) A kümesinin tüm alt küme sayısı 8 tanedir. 0 küme ve her küme kendisinin bir alt kümesidir. s(A) = 3 23 = 8 olduğuna dikkat ediniz. 2) Alt küme sayısı; s(A) = n => 2n şeklinde bulunur. 3) Öz alt küme, tüm alt kümenin eleman sayısından kümenin kendisinin çıkarılması ile bulunur. s(A) = n => öz alt küme sayısı 2n - 1 şeklinde bulunur. Örnek: 5 elemanlı bir kümenin kaç tane alt kümesi vardır? A) 40 B)35 C)32 D) 31 E) 28 Çözüm: s(A) = 5=> 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 tanedir. Doğru cevap (C) şıkkıdır Örnek: 63 tane öz alt kümesi olan küme kaç ele-manlıdır? A) 6 B)5 C)4 D) 3 E) 2 Çözüm: s(A) = n => Öz alt küme sayısı = 2n - 1 => 63 = 2n - 1 => 64 = 2n => 26 = 2n => n = 6 bulunur. Doğru cevap (A) şıkkıdır. Örnek: 6 elemanlı bir kümenin kaç tane 3 lü alt kümesi vardır? EVRENSEL KÜME: Bir işlemde tüm olasılıkları içine alan kümeye evrensel küme denir. Genel olarak evrensel küme E ile gösterilir. A nın dışındaki elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A' şeklinde gösterilir AYRIK KÜMELER: A n B = 0 ise A ile B kümesine ayrık kümeler denir. alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Kümelerde Yapılan İşlemler 1) İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ: iki kümenin tüm elemanlarından oluşan kümeye denir. [SIZE=4] Tüm taranan kısım A ile B kümesinin birleşimi olup A u B şeklinde gösterilir. Örnek: A = {1, 2, a, c, 4} , B = {a, b, c, 1, A} için A u B = {1, 2, a, c, 4, b, A} (Birleşim işlemi alınırken birinci küme aynın yazılır, ikinci kümeden de yazılmayan elemanlar yazılarak birleşme işlemi yapılır. Aynı elemanın birden fazla yazılmadığına dikkat ediniz.) Örnek: A = {a, b, c, 1, 2, +} , B = {1, 2, 3, a, +}, C = {a, 3, 8, x, 4} ise Au (B u C) = ? bulalım. Au(1,2,3, a, +, 8, x, 4} = {a, b, c, 1, 2, +, 3, 8, x, 4} NOT Kümedeki elemanların sırasının önemi yoktur. 2) İKİ KÜMENİN KESİŞİMİ: İki ya da daha fazla kümelerdeki ortak elemanların yazılmasıyla oluşan kümeye denir. Şekildeki taralı kısım A \ (B u C) şeklinde gösterilir. A ile B kümesinin kesişimi şekil üzerinde taranmış olup, A n B şeklinde gösterilir. Örnek: A = {1, 2, a, b} , B = {a, e, 1, c} için An B = {1, a} Kesişimi bulunur. 3) İKİ KÜMENİN FARKI: Birinci kümede olup da, ikinci kümede olmayan elemanların yazılmasıyla oluşan kümeye denir. Birinci küme A, ikinci küme B ise A \ B şeklinde gösterilir. Şekildeki taralı kısımlar, [(A n B) \ C] u [C \ (A u B)] (Çift taralı kısımlar istendiğinde tek, tek ifade edilip aralarına birleşim işareti konur.) KÜMELERLE İLGİLİ GENEL ÖZELLİKLER 1) A D A = A 2) A Q A = A 3)AQB = BDA 3)AQB = BD 4) AQ B = BD A 5) AQ 0 = A 6) A O 0 = 0 7) s(A D B) = s(A) + s(B) - s(A Q B) 8) A □ B ve B D A D A = B dir. 9) A O A1 = E 10) s(A) + s(A') = s(E) 11) 0' = E 12) E' = 0 İngilizce bilenler : a + b Problemleri gözerken izlenecek yolu bir örnekle açıklayalım. İ: İngilizce bilenler, F: Fransızca bilenler olsun. Fransızca bilenler : b + c Hiç birini bilmeyenler: d En az bir dil bilen : a + b + c En çok bir dil bilen : a + c + d Sadece bir dil bilen : a + c En çok iki dil bilen : a + b + c + d Şeklinde denklemler kurulup sorular çözülür. alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Sayılar Rakam: Sayıları kullanmak için kullanılan {O, 1, 2,3,4,5,6, 7,8,9} sembollerinden her birine "rakam" denir. Sayma Sayıları: Pozitif tam sayıların oluşturduğu S = {1, 2, 3, 4,...} kümesinin elemanlarına "sayma sayıları" denir. Doğal Sayılar: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} kümesinin elemanlarına doğal sayı denir. Tam Sayılar: Z = {...,-2,-1, 0, 1,2, 3,...} kümesinin elemanlarına tam sayı denir. Negatif Tam Sayılar Kümesi: Z ={...,-n -3, -2,-1} Pozitif Tam Sayılar Kümesi: Z+ = {1,2, 3, 4 n, ...} Z = Z" u {0} u Z+ Çift Sayılar: {..., -4, -2, 0, 2, 4 2n, ...} Tek Sayılar: {..., -5, -3, -1, 1, 3 (2n -1), ...} Örnek: a ve b doğal sayılardır, a . b = 36 olduğuna göre a + b toplamı en çok kaçtır? Çözüm: a . b = 36 i i 1 .36 2.18 -» 3.12 -♦ 4.9 -6.6 -» A) 12 B)13 C)15 D) 20 E) 37 1 + 36 = 37 (en büyük) 2 + 18 = 20 3 + 12 = 15 4 + 9 = 13 6 + 6 = 12 Çarpımları 36, toplamları en büyük olan sayılar 1 ile 36'dır. 1 ile 36'nın toplamı 37'dir. Doğru cevap (E) şıkkıdır. Örnek: a, b, c, e N, a . b = 19 , b . c = 5 ise a + b + c toplamı kaçtır? Çözüm: a . b = 19 19 . 1 = 19 ise a =19, b = 1, c = 5 olduğundan a + b + c=19 + 1+5 = 25 bulunur. Örnek: a , b e N , a2 - b2 = 23 ise a = ? Çözüm: a2 - b2 = 23 (iki kare farkından) (a - b). (a + b) = 1 . 23 t f t f a-JT - 1 + a+# = +23 2a = 24 a = 12 bulunur. Örnek: Rakamları farklı üç basamaklı birbirinden farklı beş sayının toplamı 657 olduğuna göre bu sayıların en büyüğü en çok kaçtır? A) 253 B)243 C) 241 D) 240 E) 252 Çözüm: 102 + 103 + 104 + 105 + x = 657 414 +x = 657 x = 243 bulunur. Doğru cevap (B) şıkkıdır. Örnek: İki basamaklı beş sayının toplamı 412 olduğuna göre bu sayılardan en küçüğü en az kaçtır? A. 14 B)15 C)16 D) 17 E) 18 Çözüm: 99 + 99 + 99 + 99 + x = 412 x = 412-396 x = 16 bulunur. Doğru cevap (C) şıkkıdır. (Bu soruda rakamların farklı olması koşulu yoktur. Bu sayılardan en küçüğünü bulmak için diğer dört sayının en büyük değerlerini alması gerekir.) Örnek: Bir kişi, bir "a" sayısını 14 ile çarpmış ve sonucu 2524 bulmuştur. İşlemi kontrol ettiğinde "a" sayısının 3 olan onlar basamağını 8 olarak gördüğünü fark etmiştir. Buna göre doğru sonuç kaçtır? Çözüm: 3 olan onlar basamağı 8 alındığında çarpım 5 . 10 = 50 kat fazla bulunmuştur. Yapılan hata, 14 . 50 = 700'dür. O hâlde doğru sonuç: 2524-700 = 1824 olmalıdır. alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri FAKTÖRİYEL NE DEMEKTİR? faktöriyel: ( ! ) sembolü ile gösterilir.örneğin n! demek 1'den n'e kadar olan sayılarının yanyana yazılıp çarpımı demektir. 5! demek 1'den 5'e kadar sayıların yanyana yazılıp çarpılmasıdır n!=1.2.3.4.5.........n 0!=1 1!=1 2!=1.2=2 3!=1.2.3=6 4!=1.2.3.4=24 5!=1.2.3.4.5=120 10!=7!.8.9.10 6!=4!.5.6 örnek: 5!/3!=1.2.3.4.5/1.2.3=120/6=20 n!/(n-1)!=(n-1)!.n/(n-1)!=n |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri faktöriyeller 1. x ve n sayma sayıları olmak üzere, 21! = 2n.x ise, n nin alabileceği en büyük değer kaçtır? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 2. n bir doğal sayı olmak üzere, 67! / 15n işleminin sonucunun doğal sayı olması için, n nin en büyük değeri kaç olmalıdır? a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 3. m ve n ardışık çift doğal sayılardır. m>n olmak üzere, m!/n! + 4 = 94 ise, n kaçtır ? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 4. 2! + 3! + 4! + … + 1472! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. 6! + 7! + 8! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez ? a) 3 b) 5 c) 15 d) 25 e) 45 6. 18! sayısı, 16! sayısının kaç katıdır? a) 16 b) 18 c) 34 d) 306 e) 645 7. f(a)=(a+2)! ise, f(3) - f(2) = ? a) 1 b) 4 c) 5 d) 16 e) 96 8. 120! - 83! - 1 sayısının sonunda kaç tane dokuz vardır? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Aralarında asal sayılar : 1 den başka pozitif ortak böleni olmayan sayma sayılarına aralarında asal sayılar denir. Örnek : 4 ile 9 aralarında asaldır. 7 ile 11 aralarında asaldır. Örnek: 1 den 10 a kadar olan asal sayıların toplamı kaçtır? A) 15 B)17 C)19 D) 21 E) 23 Çözüm: 2+3+5+7=17 Doğru cevap (B) şıkkıdır Örnek: 3 ile 5 aralarında asaldır. 2 ile 9 aralarında asaldır. 6 ile 12 aralarında asal değildir. (Çünkü 6 ve 12 sayılarının pozitif ortak bölenleri, 1, 2, 3 ve 6'dır.) alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Reel Sayılar Gerçel sayılar (veya Reel sayılar), Rasyonel sayılar kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir. Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık açılımı vardır. Mesela veya eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir. alıntı ARDIŞIK SAYILAR Belli bir kurala göre bir birini takip eden sayı gruplarına ardışık sayılar denir. Ardışık doğal sayılar; 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….... Ardışık tek sayılar; 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …...... Ardışık çift sayılar; 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …...... 4 ün katı olan ardışık doğal sayılar; 0, 4, 8, 12, 16, …..... şeklinde devam eder. n bir tam sayı olmak üzere, 1- Ardışık dört tam sayı sırasıyla; n, n + 1, n + 2, n + 3 tür. 2-Ardışık dört çift sayı sırasıyla; 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır. 3-Ardışık dört tek sayı sırasıyla; 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir. 4-Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla; 3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur. Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir. UYARI : İki ardışık sayının toplamı daima tektir. Bütün çift sayıların toplamı daima çifttir. Biraz örnek çözelim: SORU : İki ardışık sayının toplamı 97 ise bu sayılar kaçtır? Cevap : n + n + 1 97 Yukarıda iki ardışık sayı n ve n +1 ile gösterilmiştir. İlk iş olarak fazlalık olan 1 i toplamdan yani 97 den çıkarıyoruz. 97 – 1 = 96 Artık fazlalık kalmadığına göre; ve iki ardışık sayımız olduğuna göre, kalan sayıyı ikiye bölerek küçük sayıyı bulabiliriz. 96 : 2 = 48 Küçük sayı Büyük sayıyı bulmak için ise; 48 + 1 = 49 SORU : İki ardışık çift sayının toplamı 178 ise bu sayılar kaçtır? Cevap : n + n + 2 178 Ardışık çift sayıların ikişer ikişer artıyor olması sebebiyle, bu defa ikinci sayımızdaki 2 fazlalığını toplamdan çıkarıyoruz. 178 – 2 = 176 Artık fazlalık kalmadı. iki sayımız olduğu için sonucu ikiye bölerek küçük sayımızı bulabiliriz. 176 : 2 = 88 Küçük sayı Büyük sayı, küçük sayıdan 2 fazla olduğuna göre; 2 ekleyerek büyük sayıyı bulabiliriz. 88 + 2 = 90 Büyük sayı NOT : Bir çok öğrencimizin düştüğü tuzak; verilen sayıyı hemen sayı adedine bölmeleridir. Unutmayalım ki; ardışık sayılar belirli oranlarda artarak gider. Sizlerin öncelikle bu artışı toplamdan çıkarmanız gerekir. Daha sonra kaç sayı varsa, ona göre bölme işlemini yaparak küçük sayımızı bulabiliriz. Bu bölme işlemi sonrası çıkan sonuş bütün işlemlerde küçük sayıdır. Büyük sayıyı bulmak için ise tekrar ekleme yapmanız grekmektedir. Yukarıda da değinildiği üzere bu artış; ardışık sayılarda 1, ardışık çift ve ardışık tek sayılarda 2'dir. Ardışık çift ve ardışık tek sayılarla ilgili problemler aynı şekilde çözülür. çift ve tek oluşları kafanızı karıştırmasın. Çünkü her ikisi de 2'şer 2'şer artmaktadır. Bir tane de tek sayılarla ilgili çözerek görelim. SORU : Ardışık iki tek sayının toplamı 108'dir. Buna göre küçük ve büyük sayıları bulalım. Cevap : n + n + 2 108 Yine öncelikli hedefimiz fazlalığı çıkarmak, 108 - 2 = 106 Daha sonra iki sayı olduğu için sonucu ikiye bölerek küçük sayıyı bulmak, 106 / 2 = 53 Küçük sayı Büyük sayı için ise 2'yi tekrar eklememiz yeterli, 53 + 2 = 55 Büyük sayı ISINMA TURLARI SONA ERDİ, SORULARIMIZI BİRAZ DAHA ZORLAŞTIRALIM... :) SORU: Ardışık üç sayının toplamı 246'dır. Buna göre küçük, orta ve büyük sayıları bulunuz. Cevap: n n + 1 + n + 2 246 bu defaki fazlalıklarımız 1 ve 2 ------ yani 1 + 2 = 3 Bu fazlalığı toplamdan çıkaralım 246 - 3 = 243 Bu defa iki değil, üç sayımız var. O halde sonucuda 3'e bölmemiz gerekiyor. 243 / 3 = 81 Küçük sayı Ortanca sayı küçük sayıdan 1 fazla olduğuna göre; 81 + 1 = 82 ortanca sayı Büyük sayı küçük sayıdan 2 fazla olduğuna göre; 81 + 2 = 83 Büyük sayıdır SORU: Ardışık üç çift sayının toplamı 222'dir. Buna göre; küçük, ortanca ve büyük sayıları bulunuz. Çözüm: Çift sayılar 2'şer 2'şer artmaktaydı. O halde; n n + 2 + n + 4 222 Fazlalıklarımız 2 ve 4 ----- Yani 2 + 4 = 6 Bu fazlalığı çıkaralım 222 - 6 = 216 Üç sayımız olduğu için yine 3'e bölelim ve küçük sayımızı bulalım. 216 / 3 = 72 Küçük sayı 72 + 2 = 74 Ortanca sayı 72 + 4 = 76 Büyük sayı SORU: Ardışık dört sayının toplamı 418' dir. Buna göre bu sayıları bulunuz. Cevap: 1.sayı n 2.sayı n + 1 3.sayı n + 2 4.sayı + n + 3 418 Dört sayımızda yukarıda belirtilmiştir. fazlalıklara baktığımızda; 1, 2 ve 3' ü görüyoruz. yani 1 + 2 + 3 = 6 Fazlalığımızı çıkarıyoruz, 418 - 6 = 412 Dört sayımız olduğu için sonucu 4'e bölerek küçük sayımızı yani 1.sayımızı buluyoruz. 412 / 4 = 103 (1.sayı) 103 + 1 = 104 (2.sayı) 103 + 2 = 105 (3.sayı) 103 + 3 = 106 (4.sayı) alıntı Ardışık Çift Doğal Sayıların Toplamı: 2+4+6+ ... + 2n = n.(n+1) Örnek: 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 42 toplamı kaçtır? Çözüm: 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 42 = 21 .(21 +1) = 21 .22 = 462dir. 2n = 42 => n = 21 (terim Sayısıdır) Örnek: 32 + 34 + 36 + ... + 60 toplamı kaçtır? Çözüm: 2 + 4 + 6 + ... + 60 = 30 . 31 = 930 2 + 4 + 6 + ... + 30 = 15 . 16 = 240 32+ 34+ 36+ ... + 60 = (2 + 4 + 6 + ... + 60) - (2 + 4 + 6 + ... + 30) = 930 - 240 = 690 bulunur. alıntı Ardışık Tek Sayıların Toplamı Ardışık Tek Doğal Sayıların Toplamı: 1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n.n Örnek: 1 + 3 + 5 + ... + 29 toplamı kaçtır? Çözüm: 1 + 3 + 5 + ... + 29 = 152 = 225 bulunur. 2n - 1 = 29 =» 2n = 30 n = 15 (terim Sayısıdır) alıntı Ardışık terimlerin toplamı Ardışık Sayılarda Terim Sayısı Son Terim - İlk Terim Terim Sayısı =--------------------------------------- + 1 dır. Ortak Fark Örnek: 13 + 17 + 21 + 25 + ... + 53 toplamı kaçtır? Çözüm: Her ardışık terim arasındaki fark 4'tür. 17-13 = 4, 21-17 = 4, 25 - 21 = 4 gibi |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Bölme ve Bölünebilme Kuralları BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere, bölme işleminde,[Linkler Ziyaretçilere Kapalıdır.Giriş Yap Veya Üye Olmak için TIKLAYIN...]
B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI 4. 5 İle Bölünebilme[FONT=Verdana]1. 2 İle Bölünebilme Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir. 2. 3 İle Bölünebilme Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. 3. 4 İle Bölünebilme Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür. ... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.
Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür. [FONT=Verdana]6. 8 İle BölünebilmeBir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir. 5. 7 İle Bölünebilme (n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için, k Î Z olmak üzere, (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... = 7k olmalıdır. Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir. Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür. 7. 9 İle Bölünebilme3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür. Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir. Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. [FONT=Verdana]Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. 8. 10 İle Bölünebilme Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır. 9. 11 İle Bölünebilme (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için (a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k ve k Î Z olmalıdır. [emoji2400] (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan (a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir. Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.
C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere, A nın C ile bölümünden kalan K1 ve B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun. Buna göre,
Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur. [/CENTER]D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.
alın |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri BÖLÜNEBİLME KURALLARI 2 ile Bölünebilme: Bir sayının 2 ile tam olarak bölünebilmesi için, birler basamağının0, 2, 4, 6, 8sayılarından biri olması gerekir. Yani, her çift sayı 2 ile tam olarak bölünür. Bununla birlikte, tüm tek sayılar 2 ile bölündüğünde, kalan 1 olur. 3 ile Bölünebilme:Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir. Bir sayının 3 e bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 e bölümünden kalana eşittir. 4 ile Bölünebilme:Bir sayının 4 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının00 veya 4 ün katları olması gerekir. Bir sayının 4 ile bölümündeki kalan, sayının son iki basamağının 4 e bölümündeki kalana eşittir. Diğer taraftan, 4 ile tam olarak bölünebilen yıllar, artık yıl olarak isimlendirilir. Yani, artık yılların Şubat ayı 29 gün çeker. Dolayısıyla, 4 ile Bölünebilme, artık yılların bulunması kullanılabilir. 5 ile Bölünebilme:Bir sayının 5 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının0 veya 5olması gerekir. Bir sayının 5 ile bölümündeki kalan, sayının birler basamağının 5 e bölümündeki kalana eşittir. 6 ile Bölünebilme:Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 2 ile tam olarak bölünmesi gerekir. Yani, 6 ile bölünebilen bir sayının hem çift sayı olması hem de rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir. 7 ile Bölünebilme:Bir sayının 7 ile tam olarak bölündüğünü tespit etmek için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak (sağdan sola doğru) a b c d e f 2 3 1 2 3 1 - + sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...) yazılmalı ve şu hesap yapılmalıdır: ( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b + 2.a ) = 7.k + m ( k, m: tamsayı) Sonuç, 7 veya 7 nin katları ( m = 0 ) olursa, bu sayı 7 ile tam olarak bölünür. Şayet, m sıfırdan farklı bir tamsayı olursa, bu sayının 7 ile bölümünden kalan m olur. İşaretler de sağdan başlayarak sırasıyla her üçlü için +, -, +, -, +, -, +, ... şeklinde olmalıdır. Bu kurala, (132) kuralı adı verilmektedir. 8 ile Bölünebilme:Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için, sayının son üç basamağının 000 veya 8 in katı olması gerekir. Bir sayının 8 ile bölümündeki kalan, sayının son üç basamağındaki sayının 8 e bölümündeki kalana eşittir. 9 ile Bölünebilme:Bir sayının 9 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının toplamının 9 veya 9 un katları olması gerekir. Bir sayının 9 a bölümündeki kalan, sayının rakamlarının toplamının 9 a bölümündeki kalana eşittir. 10 ile Bölünebilme:Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının sıfır olması gerekir. Bir sayının 10 a bölünmesiyle elde edilen kalan, sayının birler basamağındaki rakama eşittir. 11 ile Bölünebilme:Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla +, -, +, -, ... işaretleri yazılır, artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, genel toplamın da 0, 11 veya 11 in katları olması gerekir. Bir sayının 11 ile bölümündeki kalan, artılı ve eksili gruplarının toplamının 11 e bölümündeki kalana eşittir. 12 ile Bölünebilme:Bir sayının 12 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile tam olarak bölünmesi gerekir. 15 ile Bölünebilme:Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile tam olarak bölünmesi gerekir. 18 ile Bölünebilme:Bir sayının 18 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile tam olarak bölünmesi gerekir. 24 ile Bölünebilme:Bir sayının 24 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile tam olarak bölünmesi gerekir. 25 ile Bölünebilme:Bir sayının 25 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının 00, 25, 50, 75 olması gerekir. Herhangi bir sayı ile Bölünebilme:a ve b aralarında asal sayı ve x = a . b olsun. Şayet, bir sayı hem a ya hem de b ye bölünüyorsa, bu sayı x e de tam olarak bölünür. |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ (OBEB) En az biri sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü denir ve OBEB biçiminde gösterilir. OBEB bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan büyük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OBEB ini verir.
Hepsi sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların ortak katlarının en küçüğü denir ve OKEK biçiminde gösterilir. OKEK bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan küçük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OKEK ini verir.
Ü [Linkler Ziyaretçilere Kapalıdır.Giriş Yap Veya Üye Olmak için TIKLAYIN...]kesirleri ile tam bölünen en küçük pozitif kesir [Linkler Ziyaretçilere Kapalıdır.Giriş Yap Veya Üye Olmak için TIKLAYIN...]alıntı Ortak Katların En Küçüğü ( OKEK ) İki veya daha çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen iki veya daha çok sayının OKEK' ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır. 1. Aralarında asal sayıların OKEK' i, bu sayıların çarpımlarına eşittir. Yani, a ile b sayısı aralarında asal sayılar ise, (a, b)OKEK = a . b dir. 2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere, bu iki doğal sayının OBEB' i ile OKEK' inin çarpımı, bu iki doğal sayının çarpımına eşittir. Yani, a ve b doğal sayısı için a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB dir. 3. a, b, c, d sayma sayıları olmak üzere, (a/c,b/d)OKEK = (a, b)OKEK / (c, d)OBEB dir. 4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere, (a, b)OKEK = x ve (a, b)OBEB = y ise, a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri x + y dir. 5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK' i bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere, (a, b)OKEK = a . b dir. 6. a ile b sayma sayıları olmak üzere, a < b ise, (a, b)OBEB <= a <= b <= (a, b)OKEK dir. |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Taban Aritmetiği Herhangİ bİr sayı sİstemİnden Onluk sayı sİstemİne geçiş: Herhangi bir sayı sisteminden Onluk sayı sistemine geçebilmek için, basamak (hane) çözümlemesi yapılmalıdır. n, bir sayı sisteminin tabanını göstermek üzere n >= 2 olacak şekilde bir doğal sayı ise, (abcde)n sayısı onluk sayı sistemine şöyle dönüştürülür. Örnek: (218)9 = ( ? )10 taban dönüşümünü yapalım. 81 9 1 ( 2 1 8 )9 = 92.2 + 91.1 + 90.8 = 81.2 + 9.1 + 1.8 = 162 + 9 + 8 = 179 Örnek: (305)7 = ( ? )10 taban dönüşümünü yapalım. 49 7 1 ( 3 0 5)7 = 72.3 + 71.0 + 70.5 = 49.3 + 7.0 + 1.5 = 147 + 0 + 5 = 152 Onluk sayı sİstemİnden Dİğer sayı sİstemlerİne geçİş: Onluk tabandaki bir sayı diğer tabanlara çevrilirken geçilmesi istenen taban hangi taban ise, onluk tabandaki sayı o sayıya bölünmelidir. Bölme işlemi, bölümdeki sayı taban sayısından küçük olana kadar yapılmalıdır. Yeni tabandaki sayı, en sondan başlanarak önce bölüm sonra da kalanlar sırasıyla yazılarak elde edilir. Onluk taban dışındakİ bİr tabandan başka bİr tabana geçİş: Verilen sayı önce Onluk tabana çevrilir. Sonra da Onluk tabandaki sayı, geçilmek istenen tabana dönüştürülür. Yani, n verilen taban ve m istenen taban ise, dönüşümün mantığı şu şekildedir: Örnek: (1011)2 = ( ? )7 taban dönüşümünü yapalım. Önce 2 tabanındaki 1011 sayısını Onluk tabana çevirelim. 8 4 2 1 ( 1 0 1 1 )2 = 23.1 + 22.0 + 21.1 + 20.1 = 8.1 + 4.0 + 2.1 + 1.1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 Şimdi de Onluk tabandaki 11 sayısını 7 tabanına çevirelim. 11 sayısını, 7' ye böldüğümüzde, bölüm 1 ve kalan da 4 olacağından, (11)10 = (14)7 sonucunu elde ederiz. Dolayısıyla, (1011)2 = (14)7 olarak bulunur. Onluk taban dışındakİ tabanlardakİ sayıların tekliği veya çiftliği: Sayının tabanı çift ise, sayının son rakamına (birler basamağındaki rakamına) bakılarak karar verilir. Şayet sayının son rakamı çift ise, sayı çifttir. Şayet sayının son rakamı tek ise, sayı tektir. Örneğin, (12345)8 = Tek, (1236)8 = Çift olur. Sayının tabanı tek ise, sayının rakamları toplamına bakılarak karar verilir. Şayet sayının rakamları toplamı çift ise, sayı çifttir. Şayet sayının rakamları toplamı tek ise, sayı tektir. Örneğin, (234)7 = Tek, (2361)7 = Çift olur. Onluk taban dışındakİ tabanlarda arİtmetİk İşlemler: Toplama İşlemİ: Örnek: (101)2 + (11)2 = ( ? )2 ( 1 0 1 )2 + ( 1 1 )2 __________ ( 1 0 0 0 )2 İkilik tabanda 1 ile 1' in toplamı 10' dır. Dolayısıyla, ilgili basamağa 0 yazılır ve 1 sayısı bir önceki basamağa eklenir. Örnek: (234)5 + (143)5 = ( ? )5 Birler basamağının toplamı, 4 + 3 = 7' dir. 7, 5 tabanında 12' dir. Dolayısıyla, birler basamağına 2 yazıp, beşler basamağına 1 ekleriz. Beşler basamağının toplamı, 3 + 4 + 1 (birler basamağından eklenen) = 8 olur. 8, 5 tabanında 13' tür. Dolayısıyla, beşler basamağına 3 yazıp, yirmibeşler basamağına 1 ekleriz. Yirmibeşler basamağının toplamı, 2 + 1 + 1 (beşler basamağından eklenen) = 4 olarak bulunur. Sonuç olarak, toplam (432)5 olur. Çıkarma İşlemİ: Örnek: (132)5 - (23)5 = ( ? )5 Birler basamağının farkı, 2' den 3 çıkartılamayacağı için, beşler basamağından 1 alınmalıdır (yani, 5 alınmalıdır). Bu durumda, 7' den 3 çıkartılarak 4 bulunur. Beşler basamağından 1 alındığı için, burada 2 kalmıştır. Böylece, 2' den 2 çıkartıldığında 0 kalır. Yirmibeşler basamağındaki 1 sayısından birşey çıkartılmadığı için aynen alınır. Sonuç olarak, fark (104)5 bulunur. Çarpma İşlemİ: Örnek: (144)5 x (23)5 = ( ? )5 (144)5 x (23)5 = (144)5 x (3)5 + (144)5 x (2)5 = ( 1 0 4 2 )5 + ( 3 4 3 )5 = ( 1 0 0 2 2 )5 Çarpma işleminin mantığı, onluk tabandaki çarpma işlemine çok benzer. 5 tabanındaki 144 ile 3' ün çarpımı şöyle yapılır: Birler basamağı: 4 ile 3' ün çarpımı 12' dir. Birler basamağına 2 yazılır ve 10 sayısının içinde 5 sayısı 2 tane olduğu için, beşler basamağına 2 aktarılır. Beşler basamağı: 4 ile 3' ün çarpımı 12' dir ve buna birler basamağından aktarılan 2 sayısı da ilave edilerek 14 elde edilir. Beşler basamağına 4 yazılır ve 10 sayısının içinde 5 sayısı 2 tane olduğu için, yirmibeşler basamağına 2 aktarılır. Yirmibeşler basamağı: 1 ile 3' ün çarpımı 3' tür ve beşler basamağından aktarılan 2 sayısı da ilave edilerek 5 elde edilir. 5 tabanında 5, 10 olduğu için yirmibeşler basamağına 0 ve yüzyirmibeşler basamağına da 1 yazılır. Örnek: ( 25m0 )6 = ( 642 )10 ise, m = ? 216 36 6 1 ( 2 5 m 0 )6 = ( 642 )10 216.2 + 36.5 + 6.m + 1.0 = 642 432 + 180 + 6m + 0 = 642 612 + 6m = 642 6m = 642 - 612 6m = 30 m = 5 Örnek: ( 102 )m + ( 145 )m = ( 251 )m ise, m = ? m2 m 1 m2 m 1 m2 m 1 ( 1 0 2 )m + ( 1 4 5 )m = ( 2 5 1 )m ( m2.1 + m.0 + 1.2 ) + ( m2.1 + m.4 + 1.5 ) = m2.2 + m.5 + 1.1 m2 + 2 + m2 + 4m + 5 = 2m2 + 5m +1 2m2 + 4m + 7 = 2m2 + 5m + 1 4m +7 = 5m + 1 7 - 1 = 5m - 4m 6 = m Örnek: ( 124 )5 + ( 103 )5 = ( m2n )7 ise, m = ? ( 124 )5 + ( 103 )5 = ( 232 )5 bulunur. ( 232 )5 sayısını onluk tabana çevirelim. 25 5 1 ( 2 3 2 )5 = 25.2 + 5.3 + 1.2 = 50 + 15 + 2 = 67 olur. Şimdi de onluk tabandaki 67 sayısını 7' lik tabana çevirelim. 67 : 7 = 7.9 + 4 olur. Bölüm 9 ve kalan 4 dir. 9 : 7 = 7.1 + 2 olur. Kalan 2 ve bölüm 1 olur. En sondaki bölümle kalanlar tersten yazılarak, ( 67 )10 = ( 124 )7 bulunur. Buradan, ( m2n )7 = ( 124)7 [FONT=Tahoma][SIZE=4][CENTER]TABAN ARITMETIGIolduğundan, m = 1 bulunur. Herhangi bir sayi sisteminden Onluk sayi sIstemIne geçiş: Herhangi bir sayi sisteminden Onluk sayi sistemine geçebilmek için, basamak (hane) çözümlemesi yapilmalidir. n, bir sayi sisteminin tabanini göstermek üzere n >= 2 olacak sekilde bir dogal sayi ise, (abcde)n sayisi onluk sayi sistemine söyle önüstürülür: Dogaldir ki, sayi sistemlerinin özelligine göre, sayiyi olusturan rakamlar daima tabandan küçük olmalidir. Örnek: (1234)5 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim. Örnek: (10110)2 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim. Örnek: (218)9 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim. 81 9 1 ( 2 1 8 )9 = 92.2 + 91.1 + 90.8 = 81.2 + 9.1 + 1.8 = 162 + 9 + 8 = 179 Örnek: (305)7 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim. 49 7 1 ( 3 0 5)7 = 72.3 + 71.0 + 70.5 = 49.3 + 7.0 + 1.5 = 147 + 0 + 5 = 152 Onluk sayi sIstemInden DIger sayi sIstemlerIne geçIs: Onluk tabandaki bir sayi diger tabanlara çevrilirken geçilmesi istenen taban hangi taban ise, onluk tabandaki sayi o sayiya bölünmelidir. Bölme islemi, bölümdeki sayi taban sayisindan küçük olana kadar yapilmalidir. Yeni tabandaki sayi, en sondan baslanarak önce bölüm sonra da kalanlar sirasiyla yazilarak elde edilir. Örnek: (194)10 = ( ? )5 taban dönüsümünü yapalim. Örnek: (179)10 = ( ? )9 taban dönüsümünü yapalim. Onluk taban disindakI bIr tabandan baska bIr tabana geçIs: Verilen sayi önce Onluk tabana çevrilir. Sonra da Onluk tabandaki sayi, geçilmek istenen tabana dönüstürülür. Yani, n verilen taban ve m istenen taban ise, dönüsümün mantigi su sekildedir: Örnek: (132)5 = ( ? )8 taban dönüsümünü yapalim. Önce 5 tabanindaki 132 sayisini Onluk tabana çevirelim. 25 5 1 ( 1 3 2 )5 = 52.1 + 51.3 + 50.2 = 25.1 + 5.3 + 1.2 =25 + 15 + 2 = 42 Simdi de Onluk tabandaki 42 sayisini 8 tabanina çevirelim. Böylece, (132)5 = (52)8 olarak bulunur. Örnek: (1011)2 = ( ? )7 taban dönüsümünü yapalim. Önce 2 tabanindaki 1011 sayisini Onluk tabana çevirelim. 8 4 2 1 ( 1 0 1 1 )2 = 23.1 + 22.0 + 21.1 + 20.1 = 8.1 + 4.0 + 2.1 + 1.1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 Simdi de Onluk tabandaki 11 sayisini 7 tabanina çevirelim. 11 sayisini, 7 ye böldügümüzde, bölüm 1 ve kalan da 4 olacagindan, (11)10 = (14)7 sonucunu elde ederiz. Dolayisiyla, (1011)2 = (14)7 olarak bulunur. Onluk taban disindakI tabanlardakI sayilarin tekligi veya çiftligi: Sayinin tabani çift ise, sayinin son rakamina (birler basamagindaki rakamina) bakilarak karar verilir. Sayet sayinin son rakami çift ise, sayi çifttir. Sayet sayinin son rakami tek ise, sayi tektir. Örnegin, (12345)8 = Tek, (1236)8 = Çift olur. Sayinin tabani tek ise, sayinin rakamlari toplamina bakilarak karar verilir. Sayet sayinin rakamlari toplami çift ise, sayi çifttir. Sayet sayinin rakamlari toplami tek ise, sayi tektir. Örnegin, (234)7 = Tek, (2361)7 = Çift olur. Onluk taban disindakI tabanlarda arItmetIk Islemler: Toplama IslemI: Örnek: (101)2 + (11)2 = ( ? )2 ( 1 0 1 )2 [SIZE=4][FONT=Tahoma] |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri [CENTER]Kesir Çeşitleri I. Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. II. Payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir. III. Bir sayma sayısı ile birlikte gösterilen kesirlere tam sayılı kesir denir. |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Kesirleri Birbirine Çevirme Bir bütünün eş parçalarından bir kısmına kesir denir. Bu kesri gösteren sayıya da kesir sayısı denir. Kesir sayısı yerine kesir de kullanılır. Sayı sözcüğü kullanılmadığı zaman da bunun kesir sayısı olduğu anlaşılır. Kesir, biri üstte, öteki altta, araları bir çizgiyle ayrılan iki doğal sayıyla yazılır. Üstteki sayıya pay, alttakine payda, ve bunları ayıran çizgiye de kesir çizgisi ya da bölü çizgisi denir. Payda, bütünün ya da çokluğun kaç eş parçaya ayrıldığını, pay ise bu eş parçalardan kaç tanesinin alındığını gösterir. Bütün ya da çokluk 0′dan (sıfır) çok sayıda parçaya ayrılacağından, kesirlerde paydada 0 (sıfır) bulunmaz. Kesirler, ya paylardan ya da paydalardan başlayarak okunur. kesri, “a bölü b” veya “b de a” diye okunur. Payı bir olan kesre, kesrin birimi denir. Bir kesrin pay ve paydasındaki sayılar eşit ise, o kesrin değeri 1′dir. Bir bütünün 2 eş parçasından birine yarım, dört eş parçasından birine çeyrek denir. 5 eş parçaya bölünmüş bir bütünden, 2 parça seçilip alınırsa, bu kesir olarak gösterilir. Örnek Çocuk, bir pastanın ’sini yemişse geriye ne kadar pasta kaldı? Pastanın bütünü 1′dir. Bu yüzden yediği miktar, bütünden çıkartılırsa, geriye kalan pasta miktarı bulunur. Yenilen kısmı gösteren kesrin paydası 7 ve bütün 1 olduğundan, 1 yerine işlemi kolaylaştırmak adına kullanılır. Buna göre; bulunur. Geriye pastanın ’si kalmıştır. Kesirler sayı doğrusunda gösterilebilir. Sayı doğrusunda, iki tam sayı arası bir bütün olarak alınır. Kesirlerin Birbirine Çevrilmesi: Bileşik kesirle tam sayılı kesirler, birbirine çevrilebilir. Örnek 1 bileşik kesrini tam sayılı kesre çevirmek için pay, paydaya bölünür. Bölme işleminde bölünen 7, bölen 5, bölüm 1 ve kalan 2 olur. bileşik kesrinin tam sayılı kesir karşılığı,olarak bulunur. Bir tam sayılı kesri bileşik kesri çevirmek için önce tam kısımla payda çarpılır. Çıkan sonuç pay ile toplanır ve elde edilecek olan bileşik kesrin payına yazılır. Bileşik kesrin paydası, tam sayılı kesrin paydasıyla aynıdır. Örnek 2 tam sayılı kesri bileşik kesre çevirirken yukarıda anlatılan yöntem uygulanır. 1 x 5 + 2 = 7 bulunur. Bu sayı bileşik kesrin payı olur. Payda değişmez. = olur. Kesirlerde Bölme İşlemi: Birinci kesir olduğu gibi kalır. İkinci kesir ters çevrilip payı paydaya, paydası paya yazılır ve çarpılır. Kesirlerde Çarpma İşlemi: Kesirlerin payları çarpılıp çarpımın payına, paydaları çarpılıp çarpımın paydasına yazılır. Örnek 1 Bir kesrin 0 ile çarpımı sıfırdır. Örnek 2 Bir kesrin pay ve paydası aynı sayma sayısıyla çarpılırsa, kesrin değeri değişmez. Kesir bu sayıyla genişletilmiş olur. Bir kesirle, genişletilmiş kesir birbirine denktir. Kesirlerde Çıkarma İşlemi: İşlem yapılacak kesirlerde bütünler aynı sayıda eş parçalara bölünmüş olmalıdır. Yani paydaları eşit olmalıdır. Farklı sayılarda bölünmüşseler, paydalar eşitlenir. Paydalar, en küçük ortak kata eşitlenir. Çıkarma işleminde paylar çıkarılır ve sonuç pay kısmına yazılır. Eşit payda işlem sonucunun paydasına yazılır. Kesirlerde Toplama İşlemi: İşlem yapılacak kesirlerde bütünler aynı sayıda eş parçalara bölünmüş olmalıdır. Yani paydaları eşit olmalıdır. Farklı sayılarda bölünmüşseler, paydalar eşitlenir. Paydalar, en küçük ortak kata eşitlenir. Toplama işleminde paylar toplanır ve toplam, toplam kesrinin payı olur. Kesirleri Ondalık Kesir Biçiminde yazma: Kesrin payının, paydasına bölümüle elde edilen değer, kesrin ondalık kesir cinsinden karşılığını verir. basit kesrinin ondalık kesir şeklindeki yazımı 0,25′dir. Bu değeri bulmak için 1, 4′e bölünmüştür. bileşik kesrinin ondalık kesir şeklindeki yazımı 2, değeridir (2,33333…). Kesirlerin Karşılaştırılması: Kesir sayıları arasında sıralama yapılabilir. Kesirlerin paydaları eşitse; paylarına göre sıralama yapılır. Verilen kesirlerin paydaları eşitse payı büyük olan kesir daha büyüktür. Kesirlerin payları eşitse; paydalarına göre sıralama yapılır. Verilen kesirlerin payları eşitse paydası büyük olan daha küçüktür. Payları ve paydaları eşit değilse; pay ya da paydalar eşitlendikten sonra sıralama yapılır. alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Rasyonel sayılarla işlemler – Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri Tam sayılarda toplama ve çıkarma işlemini bilen bir öğrenci için rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemi çok basit bir konu olacaktır. iki rasyonel sayı verildiğinde geçen sene öğrendiğimiz kesirlerde toplama ve çıakrma işleminin kurallarını uygulayacağız. Örneğin; 4-2=2 5+3=8 derken birden karşımıza negatif tam sayıların da olduğu işlemler çıktı ve -4-2=-6 -5+3=-2 gibi sonuçları gördük. Kesirlerde de paydaları eşitledik, payları topladık veya çıkardık, paydalar ise sabit kaldı. Şimdi bunların ikisini birarada kullanacağız. yukarıda iki rasyonel sayı ile ilgili işlemler verilmiş. aradaki işlem toplama işlemi ve paydaların aynı olması gerektiği için eşitledik paydayı. Payda eşitlendikten sonra payda ile işimiz bitti ve paya bakıyoruz. Artık tam sayılarda toplama ve çıkarma işleminin özelliğini kullanabiliri. -3+2 nin sonucunun -1 e eşit olduğunu biliyoruz ve pay kısmına -1 yazıyoruz. Sonuç -1/6 olarak bulundu. Aradaki işlem toplama da olsa, çıkarma da olsa aynı mantığı kullanıyoruz. Soru: Rasyonel sayılar tam sayılı kesir şeklindeyse veya ondalık sayı şeklineyse nasıl sonuca gideriz? Cevap: Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirirsek hiçbir zaman hata yapmayız. Aynı şekilde, sayılardan biri ondalık sayı, diğeri rasyonel sayı ise; ya ikisini de rasyonel sayıya çevirin, ya da ikisini de ondalık sayıya çevirin. Not: Rasyonel sayılarda toplama işleminde değişme ve birleşme özelliği vardır. Çünkü sayıların yeri değişse de sonuç değişmez buna değişme özelliği denir. Sayıları değişik sırayla toplasak da sonuç değişmez bu da birleşme özelliğine örnektir. alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Rasyonel Sayılarda Sıralama Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır. I. Yol: Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür. II. Yol: Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür. III. Yol: Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür. Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür. Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir. F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR arasında sayılamayacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan OKEK inde eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir. Üx, [Linkler Ziyaretçilere Kapalıdır.Giriş Yap Veya Üye Olmak için TIKLAYIN...] kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise, |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri [CENTER]ONDALIK SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER Ondalık Kesirler (Sayılar): m Є Z ve n Є Z+ olmak üzere, m / 10n şeklinde yazılabilen kesirlere Ondalık Kesir, sayılara da Ondalık Sayılar denir. Yani, paydası 10' un kuvveti olan kesirler (sayılar) dir. Örnekler: 1/10 = 0,1 sıfır tam onda bir 2/10 = 0,2 sıfır tam onda iki 3/10 = 0,3 sıfır tam onda üç 25/100 = 0,25 sıfır tam yüzde üç 2/1000 = 0,002 sıfır tam binde iki 25/10 = 2,5 iki tam onda beş 15/10 = 1,5 bir tam onda beş 103/100 = 1,03 bir tam yüzde üç 2345/1000 = 2,345 iki tam binde üçyüzkırkbeş Bir ondalık kesir, ondalık sayı şeklinde yazıldığında, virgülden önceki kısma ondalık sayının tam kısmı, virgülden sonraki kısma da ondalık sayının ondalık kısmı denir. Bir a/b (b≠0) kesrinin, payının paydasına bölünmesiyle elde edilen bölüme de, Ondalık sayı denir. Ayrıca, buna rasyonel (kesrin) sayının ondalık açılımı da denir. Bu işlem, bir kesrin (rasyonel sayının), ondalık kesre (sayıya) çevrilmesinde kullanılır. Örnek: 1/5 sayısını ondalık sayıya çeviriniz. Çözüm: 1/5 in paydasını 10' un kuvveti şekline çevirmek için hem payını hem de paydasını 2 ile genişletelim. Bu takdirde, 1/5 = (1.2)/(5.2) = 2/10 = 0,2 buluruz. Örnek: 12/300 rasyonel sayısını ondalık sayıya çeviriniz. Çözüm: 12/300 ün paydasını 10' un kuvveti şekline çevirmek için hem payını hem de paydasını 3' e bölelim. Bu takdirde, 12/300 = (12:3)/(300:3) = 4/100 = 0,04 buluruz. Örnek: 3/5 = (3.2)/(5.2) = 6/10 = 0,6 Örnek: 7/25 = (7.4)/(25.4) = 28/100 = 0,28 Örnek: 2/125 = (2.8)/(125.8) = 16/1000 = 0,016 Örnek: 1/3 sayısının ondalık açılımını bulunuz. Çözüm: 1/3 rasyonel sayısını kaç ile genişletirsek genişletelim paydasını 10' un kuvveti şeklinde yazamayız. Bu nedenle, bu sayının payını paydasına bölmeliyiz. Dolayısıyla, bu bölme işlemini yaparsak, 1/3 = 0,33333333... = 0,3 elde ederiz. Buradaki ondalık kısımdaki 3 sayısı sonsuza dek devam etmektedir. Yani, 3 sayısı devreden sayıdır. Bundan dolayı, 0,3 sayısına, devirli ondalık sayı denir. Devirli ondalık sayılarda devreden kısım tek basamaklı olabileceği gibi, iki veya daha fazla basamaklı da olabilir. Örneğin, 0,25 devreden kısım iki basamaklı 2,25367 devreden kısım üç basamaklıdır. Uyarı 1: Tamsayıların önüne yazılan sıfırların bir anlamı yoktur. Örneğin, 2, 02, 002, 0002, 00002, 000002, ... sayılarının hepsi 2 sayısını gösterir. Burada 2' den önceki sıfırların bir anlamı yoktur. Bu yüzden kullanılmazlar. Uyarı 2: Bir kesrin ondalık açılımında ondalık kısımdaki rakamların en sağına yazılan sıfırların bir anlamı yoktur. Örneğin, 1,2 1,20 1,200 1,2000 sayılarının hepsi 1,2 dir. ONDALIK SAYILARIN RASYONEL SAYIYA ÇEVRİLMESİ Devirsiz ondalık sayılar, rasyonel sayı şekline şöyle çevrilir: Paya ondalık sayının tümü yazılır, paydaya da 1 ve 1' in ardına ondalık kısımdaki rakam sayısı kadar 0 yazılır Devirli ondalık sayılar, rasyonel sayı şekline şöyle çevrilir: Paya ondalık sayının tümünden tam kısım dahil devretmeyen kısmının farkı yazılır, paydaya da ondalık kısmın önce devreden rakam sayısı kadar 9 devretmeyen rakam sayısı kadar 9' un ardına 0 yazılır 36,4539 = 36,454 1,849 = 1,85 Ondalık kısımdaki 9 rakamı devrediyorsa, 9 rakamı atılır ve önündeki rakam 1 arttırılır. ONDALIK SAYILARLA DÖRT İŞLEM TOPLAMA ve ÇIKARMA İŞLEMİ: Virgüller aynı hizaya getirilir ve toplama veya çıkarma işlemi yapılır. Örnek: 2,15 + 35,242 = ? 2,150 + 35,242 = 37,392 bulunur. ÇARPMA İŞLEMİ: Virgüller gözönüne alınmadan normal çarpma işlemi yapılır. Sonra da, iki ondalıklı sayının ondalık kısmındaki hane sayısının toplamı kadar sağından başlanarak virgülle ayrılır. Örnek: 4,25 . 23,4 = ? 4,25 23,4 x --------------- 1700 1275 850 + ---------------- 99,450 BÖLME İŞLEMİ: Pay ve paydadaki ondalık sayılarda virgül kalmayacak şekilde eşit sayıda basamak kaydırma işlemi yapılır. Sonra da normal bölme işlemi yapılır. Örnek: = 650/65 = 10 Örnek: = 70/58 = 35/29 Örnek: x=0,2 ve y=0,4 ise, x=0,2=2/9 y=0,4=4/9 Örnek: 0,36 sayısı m/n rasyonel kesrine eşitse, m-n farkı kaçtır? Çözüm: 0,36 = (36-3)/9 = 33/9 = 11/3 m/n = 11/3 olduğundan, m=11 ve n=3 olur. Dolayısıyla, m-n=11-3=8 bulunur. Örnek: işleminin sonucu kaçtır? (ÖSS-2001) a) 0,1 b) 0,2 c) 10 d) 20 e) 100 Çözüm: 10/1 +10/1-10/1= 10+10-10 = 20-10=10 Doğru seçenek c şıkkıdır. |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLAR rasyonel sayı ondalık yazıldığında, ondalık kısmındaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu açılıma devirli ondalık açılım denir. Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur. · Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı belirtir. · Her rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı vardır. · Bazı devirli ondalık açılımlar ondalık kesir değildir. 0,333... gibi. (Çünkü rasyonel sayı olarak yazıldıklarında, ondalık kesir tanımına uymuyor.) E. DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLARI RASYONEL SAYIYA ÇEVİRME Bir devirli ondalık açılıma karşılık gelen rasyonel sayıyı bulmak için aşağadaki yol takip edilir. · Pay için “sayı aynen yazılır, devretmeyen kısım çıkarılır.” · Payda için “virgülden sonra devreden rakam sayısınca (9) devretmeyen rakam sayısınca (0) yazılır.” İfadeleri kullanılır. Devreden sadece (9) ise pratik olarak bir önceki rakam 1 artırılır. Devreden sayı iptal edilir. alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir. Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar Asal polinomlar denir. * P(x) = x2 + 4 , Q(x) = 3x2 + 1, R(x) = 2x – 3 , T(x) = - x + 7 Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır. P(x) = x2 + 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur. Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir. * a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4 b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik değildir. ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER I) Tam Kare Özdeşliği: a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b)İki Terim farkının Karesi : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır. c)Üç Terim Toplamının Karesi:(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir. II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü : a)İki Terim Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 b) İki Terim Farkının Küpü : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikincinin küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom Açılımıda denir Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak 4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli lerin özdeşliklerini de yazabiliriz. III) İki Kare Farkı Özdeşliği: (a + b) (a – b) = a2 – b2 İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir IV) xn + yn veya xn - yn biçimindeki polinomların Özdeşliği : i) İki küp Toplam veya Farkı : a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) ii) a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3) a4 – b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b) iii) a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4) a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4) iv) a6 + b6 = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5) a6 – b6 = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2) v) a7 + b7 = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6) a7 – b7 = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6) Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz 1)x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 2)x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy 3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy 4) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy 5) x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y) 6) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y) 7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz) 1) İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır? x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 2ab = 289 – 145 145 = (17)2 – 2ab 2ab = 144 ab = 72 C= 72 2) a – b = 6 (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab (a + b)2 = 44 a . b = 2 = ( 6 )2 + 4.2 (a + b) = a + b = ? = 36 + 8 = 3) a – 2b = 3 ise; a2 + 4b2 = ? a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2. a2b a . b = 2 = ( 3 )2 + 2. 2 .2 = 17 4) a + b = 12 ise; a . b = ? (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab 4 ab = 108 a – b = 6 ( 12 )2 = ( 6 )2 + 4ab ab = 27 5) ise; x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy 20 6) ise; Ç = {- 4 , 4} 7) m + n =8 x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) m . n = 1m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n) m3 + n3 = ? = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8 = 488 alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Özdeşlikler 1) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 2)(a-b)2 = a2 - 2ab + b2 3)a2+b2 = (a+b)2 - 2ab 4)a2+b2 = (a-b)2 + 2ab 5)(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 6)(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 7)a3+b3 = (a+b). (a2 - ab + b2) 8)a3-b3 = (a-b). (a2 + ab + b2) 9)(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab+bc+ac) alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ 1) Ortak Çarpan Parantezine Alma: Terimlerin herbirinde ortak olan ifadelerin alınıp ifadeyi çarpan durumuna getirmektir. örnek: ax + bx + cx = x (a + b +c) örnek: 3 (a-b) . c - 6 (a-b) . d = 3 (a-b) . (c-2d) 2) Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma: Terimler çarpanlara ayrılırken grup, grup alınarak çarpanlarına ayrılır. örnek: ax - by + aj/ - bx = a (x +y) -b (x+y) = (a - b) . (x + y) (gruplandırmada ortak çarpanma getirildiğine dikkat ediniz.) örnek: a2 + ab + bc + ac = a (a + b) + c (a + b) =(a + c) . (a + b) örnek: 2ax - 4ay - x + 2y = 2a (x - 2y) - (x - 2y) = (x-2y) .(2a-1) 3) İki Kare Farkı: İki terimden oluşmalı, terimler arasındaki işaret (-) ve terimlerin karekökleri olmalıdır. örnek: 81 x2 - 16 = (9x - 4) . (9x + 4) örnek: 1 - 25a2 = (1 - 5a) . (1 + 5a) 4)İki Küp Toplam ve Farkı: örnek: a3 + b3 = (a + b). (a2 - ab + b2) örnek: 1-27x3 = 13 - (3x)3 = (1-3x). (1 + 3x + 9x2) örnek: 27a3+8 = (3a)3+(2)3 = (3a+2) . (9a2-6a+4) örnek: 3-24x3=3(1 -8x3) = 3[13-(2x)3] = 3(1 -2x) . (1 +2x + 4x2) 5)Tamkareli İfadeler: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = (a + b). (a + b) örnek: x2+ 2 + \ = (x + i)2= (x +1). (x + 1) 6) Ax2 + Bx + c Şeklindeki Üç Terimli İfadeler: Birinci ve üçüncü terimlerin çarpanları alt alta yazılarak çapraz çarpıldığından sonra toplanır. Toplamın sonucu orta terimi veriyorsa karşılıklı olarak terimler alınıp çarpım durumunda yazılır. örnek: x2 - x - 2 = (x - 2) . (x + 1) alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri [CENTER]Eşitsizlikler ve Mutlak Değer x, y, z e R olmak üzere, a) Eşitsizliklerin her iki tarafı aynı sayı ile toplanıp çıkarılabilir. y Eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılıp veya bölünebilir. d) Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılıp bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir. d) Yönleri aynı olan eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir. e) Eşitsizliğin çözüm kümesi yazılırken, eşitlik varsa sayının kendisi dahil edilecek, eşitlik yoksa sayı dahil edilmeyecek. MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ VE İŞLEVLERİ Tanım:Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile gösterilir. x , R nin elemanıdır ve x ={x, x > 0 ise {-x,x < 0 ise şeklinde tanımlanır. f(x) ={f(x),f(x) > 0 ise {-f(x),f(x)< 0 ise 1) Örnek: x =-3 için x-5 - x+2 ifadesinin eşiti kaçtır? Çözüm: -3-5 - -3+2 = 8-1=7 2) Örnek: a 0,x elemanıdır R ve x < a ise -a a ise x > a veya x < -a dır. 10) IaI-IbI < Ia+bI 11)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI 12)IaI . IaI = a . a 13)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a 14)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a 15)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a İSPATLAR Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0 a > 0 ise IaI = a >0 a < 0 ise IaI = -a >0 dır. O halde IaI > 0 dır. Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır. Öz.6)V a elemanıdır R için -IaI < a < IaI V b elemanıdır R için -IbI < b< IbI + -IaI-IbI< a+b 0 olduğundan -IaI < 0 dır. -IaI= a 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır. -IaI< 0 < IaI = a ise -IaI < a < IaI dır. MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz. Çözüm:I3x-7I = 5 ise; 3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur. 1-3x-7 = 5 2- 3x-7=-5 3x = 12 3x = 2 x = 4 x = 2/3 Ç={4,2/3} Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır? Çözüm: Ix-7I = 7-x ise [FONT=Tahoma][SIZE=4]x-7 [U] |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Mutlak Değer TANIM Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir. |x| biçiminde gösterilir. ] Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ³ 0 dır. B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ 1) |x| = |– x| ve |a – b| = |b – a| dır. 2) |x . y| = |x| . |y| 3) |xn| = |x|n 4) y ¹ 0 olmak üzere, 5) |x| – |y| £ |x + y| £ |x| + |y| 6) a ³ 0 ve x Î IR olmak üzere, |x| = a ise, x = a veya x = – a dır. 7) |x| = |y| ise, x = y veya x = – y dir. 8) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere, |x – a| + |x – b| ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur. 9) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere, |x – a| – |x – b|
10) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,
|
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Üslü Sayılar Üslü sayı, bir doğal sayının kendisi ile çarpımlarının kısa şekilde gösterilmesidir. 3.3=3² üs kuvvettaban n Örnekler: 4.4.4=4³7.7.7.7=7410.10.10.10.10.10=106 Kurallar: 1)Bir sayıya üs yazılmamışsa üs 1’dir 3=3x 0=0¹ 45 2)Üssü 0 olan sayma sayıları 1’e eşittir. 4°=1 54°=1 1°=1 0°≠1 3)Üssü 1 olan sayılar tabana eşittir. 5¹=5 81¹=81 2¹=2 28¹=28 4)1 sayısının bütün kuvvetleri 1’dir. 1°=1 13635=1 1234731=1 1333=1 5)Üslü doğal sayılarda üs ile taban yer değiştirilirse sayının değeri de değişir. (42 ve 24 hariç) 6)İki sayı birbirine eşit ve tabanları aynı ise bu iki sayının üsleri de eşittir. 3a=3b a=b Üslü Sayılarla İşlem Yaparken Pozitif tam sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Sıfır dışındaki tüm sayıların sıfırıncı kuvveti (+1) dir. Sıfırın,sıfır dışındaki bütün kuvvetleri sıfırdır. Negatif tam sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Negatif sayıların üstleri alınırken, üs parantez üstünde ise hem sayıyı hem işareti etkiler, işareti sayıyı etkilemez. alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri [CENTER]KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi 2 olan c doğal sayısını ele alalım. a2 = 2 ise a sayısını a = şeklinde gösterebilir ve ‘karekök iki ‘diye okuyabiliriz.Acaba bu sayısı hangi sayılar arasındadır?Bunu inceleyelim: 12 =1 1=1 (1,5)2 = 1,5 1,5=2.25 tir O halde sayısı;1< 0) Örnek: ( )4 = 4 = = 5.5 = 25 NOT: ( + ). ( - ) = ( )2 – ( )2 = a – b Örnek: ( + ). ( - ) = ( )2 – ( )2 = 7-3 = 4 3)Bölme Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır.Sadeleştirmeler yapılıp,mümkünse kök dışına çıkarılır. a,b R+ ve b 0 ise / = ve / = dır. Örnekler: - / = - : = = = /2 - / = = PAYDAYI RASYONEL YAPMA Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifadede, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapmak denir.Paydayı kökten kurtarmak için ;pay ve paydayı ,paydanın eşleniği ile çarparız. nın eşleniği ve . =a dır. ( + ) nin eşleniği ( - ) ve ( + ). ( - ) = a – b dir. ( - ) nin eşleniği ( + ) dir. ( - b) nin eşleniği ( + b) dir. - nin eşleniği 2 + + 2 dir. + nin eşleniği 2 - + 2 dir. nin eşleniği dir. m nin eşleniği n-m 1)Paydada varsa: Pay ve paydayı ile çarparız. Örnekler: - 1/ = 1. / . = /2 - 5/ = 5. / . = /10 = / 2 2)Paydada + varsa : Pay ve paydayı - ile çarparız. Örnek: 5 5. (2 - ) = ( ). (2 - ) = 5. (2 - ) 22 – ( )2 = 10 - 4 - 3 =10 - = 5(2 - ) BAZI KURALLAR: 1) n = an/m 2) = x , xm =a 3) . = 4) : = 5) - + = (a – b + c) 6) a > 0, b > 0, c > 0 m,n,k pozitif tam sayıdır. 2 . b = an 7) = 8) = 2. bk.c 9) = 10) = 11)( )n = a 12) ( )m = m 13) a R+ ise = n. b 14) p = = 15) =x ise x= 1+ 2 16) =a+1 17) k = |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri 1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Tanım : a * 0 ve a, b e R olmak üzere ax+b=0 denklemine, bilinmeyeni x olan "I. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem" denir. ax + b = O denkleminin çözümü için x yalnız bırakılmalıdır. Örnek: 7x + 28 = O denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: 7x + 28 =0 7x =-28 x =-4 Ç -{-4} Örnek: -2 . (3x + 1) + 4 . (2 - x) = 1 + 3 . (x + 1) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: -2 . (3x + 1) + 4 . (2 - x) = 1 + 3 . (x + 1) -6x-2 + 8-4x = 1 +3x + 3 - 10x + 6 = 3x + 4 -13x = -2 x = 13 alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin aldığı bazı değerler için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Denklemleri adlandırırken içindeki bilinmeyen sayısına ve bilinmeyenin derecesi 1 olan denklemlere ise birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Bu denklemlerin çözümü yapılırken; Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafında,bilinenler diğer tarafta toplanır. Bir taraftan diğer tarafa ifade tersiyle aktarılır.örnek x+2+4=10 10-4=6 6-2=4 x=4 yani Ç[4]olur. Matematik ile ilgili bu madde bir taslaktır. İçeriğini geliştirerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz. Pratik Çözüm Bir denklemi pratik çözmek için ; Bilinmeyenler eşitliğin bir yanında, bilinenler eşitliğin diğer yanında toplanır. Eşitliğin bir yanından diğer yanına geçen terimin işareti değişir. Her iki yanda toplama çıkarma işlemleri yapılır ve her iki yan bilinmeyenin katsayısına bölünerek bilinmeyen yalnız bırakılır. Denklem çözülmüş olur. ÖRNEKLER 1. x + 6 = 10 denkleminin çözüm kümesini bulalım: Çözüm: x + 6 = 10 denkleminde (+6) nın toplama işlemine göre ters elemanı olan (-6), eşitliğin her iki yanına eklenirse eşitlik bozulmaz. Buna göre; x + 6 = 10 x + 6 + (-6) = 10 + (-6) x + 0 = 4 x = 4 olur. Ç = {4} olur. Verilen bir denklemin çözümünün doğru yapılıp yapılmadığının araştırılmasına, denklemin sağlaması denir. Bulunan kök, denklemde yerine yazılarak denklemin sağlaması yapılır böylece bulunan kökün doğruluğu kontrol edilir. 4 sayısının x + 6 = 10 denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim: x = 4 için x + 6 = 10 4 + 6 =10 10 = 10 olduğundan çözüm doğrudur. x + 6 = 10 x = 10 – 6 x = 4 ve Ç = {4} tür. Demek ki; her iki şekilde yapılan çözüm, aynı elemanı veren çözüm kümesidir. 2. Verilen denklem parantezli olursa; aşağıda yapıldığı gibi, önce dağılma özeliği uygulanarak parantezler kaldırılır. Sonra da içerisinde bilinmeyeni olan terimler eşitliğin bir tarafına, öteki terimler de diğer tarafına geçirilir. Gerekli işlemler yapılarak denklem çözülür. 2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 ) Önce, çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özeliklerini uygulayalım Çözüm: 2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 ) 2x + 6 + 7 = 25 – 2x + 4 2x + 13 = -2x + 29 2x + 2x = 29 – 13 4x = 16 x = 16 : 4 x = 4 ve Ç = { 4 } olur. 3. Verilen denklem kesirli olursa, çözümü için önce paydalar eşitlenir. Denklem paydadan kurtarılır. Bunun için, eşitliğin iki yanını ortak payda ile çarpmak gerekir. Sonra da örnek çözümlerde belirtilen kurallara göre denklem çözülür. 3.(x–2) _ 2–x _ _ x _ 5 denkleminin çözüm 4 2 ¯ 5 2 kümesini bulalım: Çözüm: Paydaları eşitlersek: 3.( x- 2) – 2.( 2 – x ) – 4x _ x - 10 4 ¯ 4 3x – 6 – 4 + 2x – 4x =x – 10 3x + 2x – 4x – x = -10 + 6 + 4 5x - 5x = -10 + 10 0.x = 0 alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri İkinci Dereceden Denklemler İKİNCİ DERECE DENKLEMİ Babilliler, Mısırlılar ve Çinlilerde x + y = a ve x - y = b denklem çiftinde, yanlışı ılı memeyle x = (a + b)/2 ve y = (a-b)/2 olduğunu biliyorlardı. Çinliler ayrıca matris bloklarını ve bambu çubukları kullanarak bu denklem sistemini çözebiliyorlardı. Daha sonraki gelen halklarda bu geometrik şekilleri kullanarak bu denklem sistemine sayısal çözümler bulmuşlardır. Eski halklarda sistemli bir ispat yöntemi bulunmadığından hu tür işlemler daha çok deneme biçiminde yürütülüyordu. Çinlilerde de sistemli bir ispat yöntemi yoktu. Bunları söylerken, eski Babil, Mısır ve Çin anlatılıyor. Çinlilerin ikinci derece denklemine dönüşen problemleri Dokuz Bölüm isimli kitapta iki tane denklemle verilir. Bu denklemler arasında bilinmeyenin birisi yok edilerek sonuçta ikinci derece denklemi bulunur. Sonra denklem kendi yöntemleriyle çözülür. Çinlilerin Dokuz Bölüm isimli kitabındaki 11. problem şöyledir. Bir kapının boyu eninden 6.8 birim daha fazladır. Kapının köşegeninin uzunluğu da 10 birimdir. Kapının enini ve boyunu hesaplayınız. Problemin ifadesine göre boyutlar x ve y ise x-y = 6.8 ve x2 + y2=100 denklem çifti yazılır. Çinliler bu problemi daha çok Pisagor yöntemiyle çözerler. Eğer bu problemi biz x - y = d ve x2 + y2 = c2 biçiminde yazarsak, (x + y)2 = 4xy + (x - y)2 ve c2 = 2xy+(x - y)2 yada 4xy = 2c2 - 2(x - y)2 yazılır. Buradan (x + y)2 = 2c2-(x - y)2 ya da x+y= yazılır. Eşitliğin her iki yanı 2 sayısıyla bölünürse, olur. Buradan x +y = 12.4 gelir. x-y = 6.8 olarak verilmişti. Buradan x = 9.6 ve y = 2.8 olarak bulunur. Çinlilerin Dokuz Bölüm isimli kitaplardaki problemler daha çok doğrusal ve ikinci derece olan denklem sistemleri biçimlerine dönüşür. Bu tür örnekler Çinlilerde fazladır. Oysa Eski Babillilerdeki tabletler x + y = b ve xy = c biçimlere dönüşen problemlerle doludur. Babillilerin problemleri daha çok alan ve çevre türünde düzenlenmiştir. Alanı c ve çevresi 2b olan çok sayıda Babil tableti bulunmuştur. Bu tabletler x = b/2 + z ve y = b/2 - z boyutlu dikdörtgen ve c alanı t. . (b/2 + z) (b/2 - z) = (b/2)2 - z2 biçiminde alınarak hesaplar yapılmıştır. Bu hesaplamalara göre olur. Buradan ve y = değerleri istenilen denklem sisteminin çözümüdür. Burada yazdığımız modern gösterimler, Babillilerin tabletlerinde yapılan çözümlerin yorumlanması ve açıklanması türendedir. Babilliler aslında formül vermemişlerdir. Her problemi çözerken çözümde kullandıkları yöntemler bunlardır. Babilli yazıcılar bu işlemi geometrik olarak nasıl yapmışlar ve nasıl tabletlere geçirmişlerdir? Şimdi onu gösterelim. Yine x + y = b ve xy = c olarak verilsin. Burada x değerine uzun kenar ve y değerine de kısa kenar diyorlar. Daha kısa deyimle x uzunluk ve y de genişlik olarak alınıyor. Buna göre problemin ifadesinden genel olarak x + y = b ve xy = c gösterimleri geliyor. Modern dille bu iki denklem sisteminden uzunluk denen x ve genişlik denen y değeri hesaplanacak. Bu hesaplamaları geometrik olarak şu şekle dayandırıyorlar. Yani komutlarından böyle yaptıkları anlaşılıyor. Önce b sayısını ikiye bölüyor ve b/2 kenarlı kareyi çiziyor. Burada b/2 = x - (x - y)/2 = y + (x - y)/2 biçiminde ve b/2 = (x + y)/2 olduğundan, b/2 kenarlı karenin üa-nı xy = c alanından (x - y)/2 kenarlı karenin alanı kadar daha fazladır. Yani, x+y=b ve xy=c olan denklem sisteminin çözümünün geometrik yorumu olur. Yukarıdaki şekle göre b/2 sayısına sayısını bir kez ekler ve bir kez de çıkarırsak sırasıyla SORU-1 : SORULAR 1)2x 2 - 8x + 6 = 0 denklemini çözünüz. CEVAP-1 : ∆ = 8 2 - 4 . 2 . 6 = 16 ve 16 >0 olup farklı iki çözüm vardır. x 1 = ( - (-8) + √ 16 ) / 2 . 2 = ( 8 + 4 ) / 4 = 3 ve x 2 = ( - (-8) - √ 16 ) / 2 . 2 = ( 8 - 4 ) / 4 = 1 olur. Ç = { 1 , 3 } SORU-2 : 2) x 2 + 4x -2 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. Kökleri x 1 + 3 ve x 2 + 3 olan denklemi bulunuz. CEVAP-2 : Denklemin kökler toplamı -4 / 1 = -4 ve kökler çarpımı (-2) / 1 = -2 dir. Kurmak istediğimiz denklemin kökler toplamı T = x 1 + 3 + x 2 + 3 = -4 + 6 = 2 dir. Kökler çarpımı ise Ç = ( x 1 + 3 ) . ( x 2 + 3 ) = x 1 . x 2 + 3 . ( x 1 + x 2 ) + 9 = -2 + 3 . (-4) + 9 = -5 olur. Denklem x 2 - Tx + Ç = 0 şeklindedir. x 2 - 2x - 5 = 0 aradığımız denklemdir. SORU-3 : 3) x 2 + xy =12 denklem sistemini çözünüz. xy + y 2 = 4 CEVAP-3 : Birinci ve ikinci denklem taraf tarafa toplanırsa x 2 + 2xy + y 2 = 16 ve taraf tarafa çıkarılırsa x 2 - y 2 = 8 denklemleri elde edilir. ( x + y ) 2 = 16 ise x + y = 4 veya x + y = - 4 olacaktır. x 2 - y 2 = 8 ifadesi x + y = 4 ve x + y = - 4 ifadeleriyle taraf tarafa ayrı ayrı bölünürse x - y = 2 ve x - y = -2 elde edilir. x + y = 4 ve x + y = - 4 denklem sistemleri ayrı ayrı çözülürse x = 3 , y = 1 ve x - y = 2 x - y = -2 x = -3 , y = -1 olur. Ç = { (3 , 1) , (-3 , -1) } alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri a, b, c, a,, bv c, e R olmak üzere ax + by + c = 0 a^ + + e, = 0 biçimindeki iki denkleme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Çözüm kümesi bulunurken yok etme, yerine koyma gibi yöntemler kullanılır. a. Yok Etme Metodu Bu yöntemde denklem sisteminde bulunan bilinmeyenlerden birinin katsayılarını zıt olarak eşitler, denklemleri taraf tarafa toplarız. Böylece bilinmeyenlerden biri yok edilir. Elde edilen bir bilinmeyenli denklem çözülür ve bilinmeyenlerden biri bulunur. Bulunan değer, denklemlerden birinde yazılır ve diğer bilinmeyen bulunur. Örnek: 4x - 5y = 31 denklem sisteminin çözüm 2x + y = 5 kümesini yok etme metoduyla bulalım. Çözüm: 4x - 5y = 3 -2. / 2x + y = 5 (İkinci denklem -2 ile çarpılır.) Yerine Koyma Metodu Denklemlerden birinde bilinmeyenlerden biri, diğeri cinsinden bulunur ve diğer denklemde yerine yazılarak elde edilen denklem çözülür. Bulunan değer denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen bulunur. Örnek: 4x - 5y = 3 j denklem sisteminin çözüm 2x + y = 5 ' kümesini yerine koyma metodu ile bulunuz. Çözüm:2x + y = 5 => y = 5-2x 4x - 5y = 3 => 4x - 5 . (5 - 2x ) = 3 4x-25+ 10x = 3 14x = 28 x = 2 y = 5 - 2x denkleminde x = 2 yazılırsa y = 5 - 2 . 2 = 1 bulunur. Ç = {(2, 1)} alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri SAYI PROBLEMLERİ A. PROBLEM ÇÖZME YÖNTEMİ Denklem kurma ile ilgili soruları çözerken aşağıda anlatılan yöntemin kullanılması sorularda kolaylık sağlayacaktır. 1. adım : 2. adım : 3. adım : 4. adım : 5. adım : Soruda verilenler belirlenir. Soruda istenen tesbit edilir. Soruda verilenler matematik diline çevrilir. 3. adımda elde edilen denklemler, denklem çözme metotlarından yararlanılarak çözülür. Bulunan sonucun, soruda istenen olup olmadığı kontrol edilir. B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME Sorularda verilen ifadelerin matematik diline çevrilmesini örneklerle açıklayalım. Herhangi bir sayı x olsun : ä Bir sayının 7 fazlası, x + 7 dir. ä Bir sayının 5 eksiğinin yarısı, ä Bir sayının yarısının 3 eksiği, ä Bir sayının 2 katının 5 fazlası, 2x + 5 tir. ä Bir sayının 3 fazlasının 4 katı, 4 . (x + 3) tür. ä Bir sayının 8 eksiğinin 3 katının 7 fazlası, 3 . (x – 8) + 7 dir. ä Payı paydasının 2 katının 4 eksiğine eşit olan kesir, ä Bir sayının sinin ünün ä Bir sayının ünün toplamı, Denklem Kurma Problemlerinin (Sayı, Kesir, Yaş, İşçi-Havuz, Hareket, Yüzde, Faiz ve Karışım) daha iyi anlaşılabilmesi için bu konuların başlarına konuyla ilgili örnekler konmuştur. Bu örnekleri incelemeniz konuyu anlamanızı kolaylaştıracaktır. Örnek 1 Biri diğerinin 3 katından 4 fazla olan iki doğal sayının farkı 80 dir. Buna göre, bu iki sayının toplamları kaçtır? A) 132 B) 156 C) 160 D) 182 Çözüm Küçük sayı x Büyük sayı 3x + 4 Farkları 3x + 4 – x = 2x + 4 olur. 2x + 4 = 2x = x = x = 80 76 76 : 2 38 (küçük sayı) Büyük sayı 3x + 4 = 3 . 38 + 4 = 118 Toplamları 118 + 38 = 156 olur. Cevap B Örnek 2 Ardışık dört çift sayının toplamı 372 dir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır? A) 36 B) 56 C) 68 D) 96 Çözüm l. sayı x ll. sayı x + 2 lll. sayı x + 4 lV. sayı x + 6 + Toplam = 4x = x = 4x + 12 = 372 372 – 12 = 360 360 : 4 = 90 lV. sayı x + 6 = 90 + 6 = 96 olur. Cevap D Örnek 3 Bir yemek kuyruğunda Ali sıranın tam başında, Orhan ise tam ortasındadır. Ali ile Orhan arasında 12 kişi olduğuna göre, bu yemek sırasında kaç kişi vardır? A) 27 B) 28 C) 29 D) 30 Çözüm Ali ile Orhan arasında 12 kişi varsa Orhan’ın önünde 12 + 1 = 13 kişi ve arkasında 13 kişi vardır. Orhan sıranın tam ortasında olduğuna göre 13 önünde, 13 arkasında, 1 de kendisi Toplam 13 + 13 + 1 = 27 kişi vardır. Cevap A Örnek 4 120 tane cevizi Bürge 2 pay, Berkin 3 pay alacak şekilde paylaşıyorlar. Buna göre, Bürge kaç ceviz almıştır? A) 28 B) 30 C) 48 D) 50 Çözüm l. yol : Bürge 2 pay Berkin 3 pay Toplam 5 pay = 120 120 : 5 = 24 (1 pay) Bürge 2 pay 24 x 2 = 48 tane almıştır. ll. yol : Bürge 2x Berkin 3x 2x + 3x = 5x = 120 120 ise, x = 120 : 5 = 24 olur. Bürge 2x = 2 . 24 = 48 tane almıştır. Cevap C Örnek 5 Bir öğrenci tanesi 5000 ve 6000 liralık silgilerden 10 tane alarak 56 000 lira ödüyor. Bu öğrenci silgilerin kaç tanesini 5000 liradan almıştır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 Çözüm 5000 liralık x tane 6000 liralık (10 – x) tane 5000x + 6000.(10 – x) = 5000x + 60 000 – 6000x = 60 000 – 56 000 = 4 000 = x = 56 000 lira 56 000 1000x 1000x 4 olur. Cevap A Örnek 6 10 kişilik bir arkadaş grubu eşit katılımla top almaya karar veriyorlar. Fakat içlerinden 3 kişi vazgeçince diğerleri 30 000 er lira fazla ödüyor. Buna göre, topun fiyatı kaç liradır? A) 500 000 B) 560 000 C) 700 000 D) 840 000 Çözüm l. yol : 10 – 3 = 7 kişi (geriye kalanlar) 7 x 30 000 = 210 000 lira (3 kişi yerine) 210 000 : 3 = 70 000 lira (1 kişinin ödemesi gereken) 10 x 70 000 = 700 000 lira olur. (topun fiyatı) ll. yol : Bir kişinin ödediği miktar x Topun fiyatı T olsun; 10 . x = T 7 . (x + 30 000) = T 10x = T 7x + 210 000 = T 10x = 10x – 7x = 3x = 7x + 210 000 210 000 210 000 ise, x = 70 000 liradır. T = 10x olduğundan T = 10 . 70 000 = 700 000 lira olur. Cevap C alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri YAŞ PROBLEMLERİ i) Bugünkü yaş x ise; m yıl sonra : x + m n yıl önce : x - n olur. ii) m yıl önceki yaş x ise, bugün : x + m n yıl sonra : x + m + n olur. Örnek: Bir annenin yaşı 56, üç çocuğunun yaşları toplamı 8'dir. Kaç yıl sonra, annenin yaşı üç çocuğunun yaşları toplamının 3 katı olur? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm: Bugün Anne 56 x yıl sonra: 56 + x Uç çocuk 8 8 + 3x Denklem: 56 + x = 3. (8 + 3x) 56 + x = 24 + 9x 8x = 32 x = 4 bulunur. Doğru cevap (C) şıkkıdır. alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri HAREKET PROBLEMLERİ V : Hareketlinin hızı x : Hareketlinin V hızıyla t sürede aldığı yol t : Hareketlinin V hızıyla x yolunu alma süresi ise, Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket ederlerse karşılaşma süresi Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket ederlerse karşılaşma süresi yine Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket ederlerse arkadaki aracın (V1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı büyük olan aracın hızı küçük olan aracı yakalama süresi yine Eşit zamanda V1 ve V2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı, Belirli bir yolu V1 hızıyla gidip V2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı, alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Kar-Zarar Problemleri Maliyet:100 %20 kar Satış:100+20=120 Maliyet:100 %20 İndirimli Satış: 100-20=80 İndirimli satışın üzerinden %20 karlı satış: 80.%120=(80.120):100=96 |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Orantı Çeşitleri 1 kg elma 2 YTL ise 3 kg elma kaç YTL eder ? Al sana bir Orantı sorusu. Günlük hayatta bol bol orantı kullanıyoruz fakat haberimiz yok. Yukarıdaki gibi çokluklar karşılaştırılıyorsa, bazı bilgiler verilip eksik bilgiler isateniyorsa buna Orantı denir. Bu orantının iki çeşidi vardır. Bunlar: Doğru Orantı ve Ters Orantı dır. Bunları inceleyelim. Doğru Orantı: Çokluklardan ( sayılardan ) biri artarken diğer sayı da artıyorsa veya biri azalırken diğeri de azalıyorsa buna doğru orantı denir. Peki yukarıdaki tanımda anlatılmak istenen nedir ? Örnek: 5 litre benzin ile 225 km giden araç 12 litre benzin ile kaç km yol gider ? Orantının çeşidi: Doğru Orantıdır çünkü; benzinin litresi 5 ten 12 yer çıkmış, artma var. Buna karşılık 225 olarak gidilen yolun da artması gerekir. Yani; benzina rtmış, gidilen yol da artacak. İşte bu şekilde biri artarken diğeri de artarsa, veya ikisi de azalırsa bunlara doğru orantı diyeceğiz. Peki sonucu nasıl bulacağız ? aynı cinsler paya, diğer aynı cinsler de paydaya yazılır. Litreler paya, alınan yollar da paydaya yazıldı. Not: Doğru orantı dendiği zaman bölme işlemi aklımıza gelmeli. Ters Orantı: İsminden de anlaşılacağı üzere ters bir durum söz konusu. Çokluklardan biri artarken diğeri terslik yapıp azalıyorsa, veya biri azalırken diğeri artıyorsa buna TERS orantı denir. Bir örnekle inceleyelim Örnek: Bir tarlayı 3 traktör 15 saatte sürüyorsa 5 traktör kaç saatte sürer ? Orantının çeşidi: Ters orantıdır, peki neden ? 3 traktör 15 saatte sürüyor, traktör sayısı 5 olduğunda traktör sayısında bir artış var. Bakalım saat de artacak mı ? Bir düşünelim… Traktör sayısı artınca işimiz daha çabuk bitecektir ve zaman kısalacaktır. Kısacası: Traktör sayısı arttı fakat zaman azalacak. Bu tür orantılara TERS orantı diyeceğiz. Peki ters orantı nasıl çözülür bir bakalım. 3.15=5.x 45=5.x 9=x x=9 olarak bulundu. Yani; 5 traktör tarlayı 9 saatte sürer. Mantıklısı da odur zaten. Eğer doğru orantı gibi çözseydik; 3/15=5/x içler dışlar yaparsak; 3x=75 x=25 oalrak bulunur. Yani traktörler artınca tarla daha da geç sürülüyor… Bu mantıklı mı sizce? Sizce de mantıksızsa buna dopru orantıdır diyemeyiz. Not: Ters orantı dendiği zaman çarpma işlemi aklımıza gelmeli. alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri [CENTER]Saat Problemleri 1. YEREL SAAT • Güneşin gökyüzündeki durumuna göre ve yeryüzündeki cisimlerin gölge boyuna göre ayarlanan saate yerel saat denir. • *Yani güneşin en tepede olduğu ana ya da gölge boyunun en kısa olduğu ana öğle vakti denir.(yarı gün) • Özellikleri: • 1)Aynı meridyen üzerinde bulunanbütün noktalarda yerel saat aynıdır. • 2)360 tane yerel saat vardır. • 3)Her meridyenin yerel saati arasında 4 dak. Zaman farkı vardır. • 4)Namaz, sahur ve iftar vakitlerinin tespitinde kullanılır. 2. Ortak Saat(Ulusal Saat,Milli Saat) • Bir ülkede zaman karışıklığını önlemek için herhangi bir meridyenin yerel saatinin bütün ülkelerde geçerli hale getirilmesiyle oluşan saate ortak saat denir. • -->Neden ortak saat? • *Haberleşme ve ulaşım sistemlerinin hızlı ve düzenli bir biçimde yapılabilmesi için ortak bir saate ihtiyaç duyulmuştur. • UYARI: Doğu- Batı doğrultusunda geniş olan ülkelerde aynı anda birden fazla ortak saat kullanılır.(Rusya, ABD, Kanada vb.) Ancak Doğu- Batı doğrultusunda dar olan ülkelerde ise tek ortak saat kullanılır.(Şili, Bulgaristan) Ülkemize gelince; • Ülkemiz Doğu- Batı doğrultusunda geniş alan kaplamadığından tek bir ortak saat kullanılır. Ancak 1978’den itibaren Güneş ışığından daha fazla faydalanmak, enerji tasarrufu sağlamak amacıyla ileri-geri saat uygulamasına geçilmiştir. ÜLKEMİZDE • Kış Dönemi(23 Eylül- 21 Mart): 2. Saat dilimine giren 300 Doğu meridyeninin yerel saati esas alınarak geri saat uygulamasına geçilmiştir. • Yaz Dönemi(21 Mart- 23 Eylül): 3. Saat dilimine giren 450 Doğu meridyeninin yerel saati esas alınarak ileri saat uygulamasına geçilmiştir. 3. SAAT DİLİMLERİ Dünyada saat ayarı konusunda çıkan karışıklıkları önlemek amacıyla dünyamız 24 saat dilimine ayrılmıştır. Peki neden 24 saat dilimi? ( Dünya üzerinde 360 meridyen yayı vardır. Basit bir oranlama ile... 360 meridyen yayı24 saatte güneş karşısına geçerse xmeridyen yayıkaç saatte güneş karşısına geçer 360.1 saat = 150 (1 saatte geçen meridyen yayı) 24 360:15=24(Bu noktadan hareketler 24 dilime ayrılıyor.) UYARI Saat dilimleri meridyenleri tam takip etmezler. Siyasî sınırlara ve yeryüzü şekillerine göre bazen daralır, bazen de genişler. ZAMAN PROBLEMLERİ 1)Yerel Saat Problemleri Bu problemlerde şu yol takip edilir. SORU SORU: 290 doğu boylamındaki İstanbul’da yerel saat 21:00 iken 370 doğu boylamındaki Sivasta yerel saat kaçtır? A)21:32 B)21:00 C)21:22 D)21:20 E)19:54 İsmet Keklik(2001) ZAMAN PROBLEMLERİ 2)Güneş Problemleri Bu problemlerde şu yol takip edilir. SORU SORU: Ülkemizin en batısında 21 Mart’ta 17:47’de batan güneş 380 doğu boylamında kaçta doğmuştur? A)03:58 B)04:59 C)06:00 D)06:15 E)05:02 |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Sayı Dizileri çeşitli mantıklarla birbirlerini takip eden sayırlardan oluşan dizilerdir. ör; doğal sayılar dizisi: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... + çift sayılar dizisi: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ... + tek sayılar dizisi: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 ... fibonacci dizisi: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ... alıntı |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri ben demin ardışık sayılarının büyük kısmına çalıştım orda şöyle not vardı UYARI : İki ardışık sayının toplamı daima tektir. Bütün çift sayıların toplamı daima çifttir. bunu da dikkatli okudum bu bilgiye dayalı dgs geçmiş yıl sorusunu çözdüm matematiği çok bilen birisi için bunda ne var diyebilir ama ben liseden 16 sene önce mezun olan birisi olarak en son matematiği de lise 2 birinci dönemde gören birisi olarak bu benim için bir gelişme daha önceki haftalarda matematiğe biraz çalıştım eşime sordum o da aklında kaldığınca yardım etti ama bi temel oluşturmak için daha çok çalışmam lazım ona da çok çok vaktim yok ama ara ara az bile olsa çalışsam birşeyler olur inşallah |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri bu konuyu paylaşan huzeyfeden allah razı olsun inşallah |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Alıntı:
ecmain olsun inşaAllah abla :):) |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri matematiği açıklamaya çalışmak,tanımlama yapmak ne zor işmiş..ne nerden gelmiş nereye gidiyor:) bildiğimide unuttum :)en iyisi çözümleri anlatılmış sorular çalışmak galiba:) |
Cevap: DGS Matematik Dersi Konu Özetleri Alıntı:
en azından en çok soru çıkabilecek konuya hakim olmaya çalış sonrasında soru çözdükce konu daha iyi oturuyor aslında ben de liseyi bitireli 9 10 yıl oluyormahcup000 ama bazı unutulmayan konular vardır mutlakac*c* şu derslerimi bitirsem ben de çalışmak isterim ilahiyat matematikten zor bence7638jk4 |
| SAAT: 15:24 |
vBulletin® Copyright ©2000 - 2025, Jelsoft Enterprises Ltd.
User Alert System provided by
Advanced User Tagging v3.2.6 (Lite) -
vBulletin Mods & Addons Copyright © 2025 DragonByte Technologies Ltd.